User Tools

Site Tools


0442720181029-l-garit-t-nhi-n-la-gi

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

0442720181029-l-garit-t-nhi-n-la-gi [2018/11/07 17:08] (current)
Line 1: Line 1:
 +<​HTML><​br><​div><​div class="​thumb tright"><​div class="​thumbinner"​ style="​width:​302px;"><​img alt=""​ src="​http://​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​e/​ea/​Log.svg/​300px-Log.svg.png"​ width="​300"​ height="​300"​ class="​thumbimage"​ srcset="//​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​e/​ea/​Log.svg/​450px-Log.svg.png 1.5x, //​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​e/​ea/​Log.svg/​600px-Log.svg.png 2x" data-file-width="​512"​ data-file-height="​512"/> ​ <div class="​thumbcaption">​Đồ thị hàm số của logarit tự nhiên.</​div></​div></​div>​
 +<​p><​b>​Logarit tự nhiên</​b>​ (còn gọi là logarit Nêpe) là logarit cơ số e do nhà toán học John Napier sáng tạo ra. Ký hiệu là: ln(x), log<​sub>​e</​sub>​(x) đôi khi còn viết là log(x)
 +Logarit tự nhiên của một số x là bậc của số e để số e lũy thừa lên bằng x. Tức là ln(x)=a &​lt;​=&​gt;​ e<​sup>​a</​sup>​=x. ​ Ví dụ, <​i>​ln(7,​389)</​i>​ bằng 2 vì e<​sup>​2</​sup>​=7.389... Trong đó logarit tự nhiên của e bằng 1 và logarit tự nhiên của 1 bằng 0
 +</​p><​p>​Logarit tự nhiên được xác định với mọi số thực a (trừ số 0) là vùng dưới đồ thị y=1/x từ 1 đến a. Sự đơn giản của định nghĩa được sánh với các công thức khác kéo theo logarit tự nhiên, dẫn đến thuật ngữ "tự nhiên"​. Định nghĩa có thể được mở rộng đến số phức, được giải thích dưới đây.
 +</​p><​p>​Hàm số của logarit tự nhiên, nếu được coi là hàm số có nghĩa của biến thực, là hàm số của hàm mũ. Điều này dẫn đến sự đồng nhất:
 +</p>
 +<​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle e^{ln(x)}=xqquad {mbox{khi }}x&​gt;​0,​!}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​msup><​mi>​e</​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​x</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo></​mrow></​msup><​mo>​=</​mo><​mi>​x</​mi><​mspace width="​2em"/><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​false"​ scriptlevel="​0"><​mtext>​khi </​mtext></​mstyle></​mrow><​mi>​x</​mi><​mo>&​gt;</​mo><​mn>​0</​mn><​mspace width="​thinmathspace"/><​mspace width="​negativethinmathspace"/></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle e^{ln(x)}=xqquad {mbox{khi }}x&​gt;​0,​!}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​34fce6905404071db5495ef2c27554447c009ccd"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.338ex; margin-right:​ -0.387ex; width:​23.705ex;​ height:​2.843ex;"​ alt="​{displaystyle e^{ln(x)}=xqquad {mbox{khi }}x&​gt;​0,​!}"/></​span></​dd></​dl><​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle ln(e^{x})=x.,​!}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​msup><​mi>​e</​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​x</​mi></​mrow></​msup><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mo>​=</​mo><​mi>​x</​mi><​mo>​.</​mo><​mspace width="​thinmathspace"/><​mspace width="​negativethinmathspace"/></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle ln(e^{x})=x.,​!}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​ef9183d0d80dd05aa18a584131cc2a90d6172795"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; margin-right:​ -0.387ex; width:​11.467ex;​ height:​2.843ex;"​ alt="​{displaystyle ln(e^{x})=x.,​!}"/></​span></​dd></​dl><​p>​Như tất cả các logarit, logarit tự nhiên biến nhân thành cộng:
 +</p>
 +<​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle ln(xy)=ln(x)+ln(y)!,​}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​x</​mi><​mi>​y</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mo>​=</​mo><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​x</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mo>​+</​mo><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​y</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mspace width="​negativethinmathspace"/><​mspace width="​thinmathspace"/></​mstyle></​mrow>​{displaystyle ln(xy)=ln(x)+ln(y)!,​}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​f5c01c3d5e9072e2bd727d17bdbc210a0c07bfd2"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​22.155ex;​ height:​2.843ex;"​ alt="​{displaystyle ln(xy)=ln(x)+ln(y)!,​}"/></​span></​dd></​dl><​p>​Do đó, hàm số logarit là một <a href="​http://​vi.wikipedia.org/​wiki/​H%C3%A0m_s%E1%BB%91_%C4%91%C6%A1n_%C4%91i%E1%BB%87u"​ title="​Hàm số đơn điệu">​hàm số đơn điệu đi từ tập số thực dương dưới phép nhân vào tập số thực dưới phép cộng. Được miêu tả:
 +</p>
 +<​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle ln :mathbb {R} ^{+}to mathbb {R} .}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ln</​mi><​mo>:</​mo><​msup><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​R</​mi></​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo>​+</​mo></​mrow></​msup><​mo stretchy="​false">​→<​!-- &rarr; --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​R</​mi></​mrow><​mo>​.</​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle ln :mathbb {R} ^{+}to mathbb {R} .}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​43dd4ffc8e0884c7c8f5ea8e72ac803ba6ad8977"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.338ex; width:​13.004ex;​ height:​2.509ex;"​ alt="​{displaystyle ln :mathbb {R} ^{+}to mathbb {R} .}"/></​span></​dd></​dl><​p>​Logarit được định nghĩa cho cơ số dương khác 1, không chỉ là số e; tuy nhiên, logarit của các cơ số khác chỉ khác nhau bởi hàm số nhân liên tục từ logarit tự nhiên và thường được định nghĩa bằng thuật ngữ sau cùng. Logarit được sử dụng để tính các phương trình có số mũ là biến số. Ví dụ, Logarit được sử dụng để tính chu kì bán rã, hằng số phân rã, hoặc thời gian chưa biết trong những vấn đề phân rã chứa mũ. Logarit rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học và được sử dụng trong tài chính để giải quyết những vấn đề liên quan đến lãi suất kép.
 +</p>
  
 +
 +
 +<​p>​Người đầu tiên đề cập đến logarit tự nhiên là Nicholas Mercator trong tác phẩm <​i>​Logarithmotechnia</​i>​ được công bố vào năm 1668, mặc dù giáo viên toán John Speidell đã biên soạn một bản về logarit tự nhiên. Ban đầu nó được gọi là logarit hyperbol, vì nó tương ứng với diện tích của một hyperbol. Nó cũng đôi khi được gọi là logarit Nêpe, mặc dù ý nghĩa ban đầu của thuật ngữ này là hơi khác nhau.
 +</p>
 +<​h2><​span id="​Ngu.E1.BB.93n_g.E1.BB.91c_c.E1.BB.A7a_thu.E1.BA.ADt_ng.E1.BB.AF_logarit_t.E1.BB.B1_nhi.C3.AAn"/><​span class="​mw-headline"​ id="​Nguồn_gốc_của_thuật_ngữ_logarit_tự_nhiên">​Nguồn gốc của thuật ngữ <​i>​logarit tự nhiên</​i></​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​[</​span>​sửa<​span class="​mw-editsection-divider">​ | </​span>​sửa mã nguồn<​span class="​mw-editsection-bracket">​]</​span></​span></​h2>​
 +<​p>​Ban đầu, logarit tự nhiên được coi là logarit cơ số 10, cơ số này "tự nhiên" ​ hơn cơ số e. Nhưng theo toán học, số 10 không có ý nghĩa đặc biệt. Ứng dụng của nó về văn hóa - làm cơ sở cho nhiều hệ thống đánh số xã hội, có khả năng phát sinh từ đặc trưng các ngón tay của con người. Các nền văn hóa khác đã dựa trên hệ thống số đếm của họ cho sự lựa chọn chẳng hạn như 5, 8, 12, 20, và 60.
 +</​p><​p>​Log<​sub>​e</​sub>​ là logarit tự nhiên bởi vì nó được bắt nguồn và xuất hiện thường xuyên trong toán học. Ví dụ hãy xem xét các vấn đề phân biệt một hàm lôgarit:
 +</p>
 +<​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle {frac {d}{dx}}log _{b}(x)={frac {d}{dx}}left({frac {1}{ln(b)}}ln {x}right)={frac {1}{ln(b)}}{frac {d}{dx}}ln {x}={frac {1}{xln(b)}}}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mi>​d</​mi><​mrow><​mi>​d</​mi><​mi>​x</​mi></​mrow></​mfrac></​mrow><​msub><​mi>​log</​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​b</​mi></​mrow></​msub><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​x</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mo>​=</​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mi>​d</​mi><​mrow><​mi>​d</​mi><​mi>​x</​mi></​mrow></​mfrac></​mrow><​mrow><​mo>​(</​mo><​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mrow><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​b</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo></​mrow></​mfrac></​mrow><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​x</​mi></​mrow></​mrow><​mo>​)</​mo></​mrow><​mo>​=</​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mrow><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​b</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo></​mrow></​mfrac></​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mi>​d</​mi><​mrow><​mi>​d</​mi><​mi>​x</​mi></​mrow></​mfrac></​mrow><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​x</​mi></​mrow><​mo>​=</​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mrow><​mi>​x</​mi><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​b</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo></​mrow></​mfrac></​mrow></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle {frac {d}{dx}}log _{b}(x)={frac {d}{dx}}left({frac {1}{ln(b)}}ln {x}right)={frac {1}{ln(b)}}{frac {d}{dx}}ln {x}={frac {1}{xln(b)}}}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​3083d747f1482348d1cf3b7f81264edf2688912c"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -2.671ex; width:​57.234ex;​ height:​6.343ex;"​ alt="​{displaystyle {frac {d}{dx}}log _{b}(x)={frac {d}{dx}}left({frac {1}{ln(b)}}ln {x}right)={frac {1}{ln(b)}}{frac {d}{dx}}ln {x}={frac {1}{xln(b)}}}"/></​span></​dd></​dl><​p>​Nếu cơ số b bằng e, thì đạo hàm chỉ đơn giản là 1/x, và tại x=1 thì đạo hàm bằng 1. Một hướng khác cho rằng logarit cơ số e là logarit tự nhiên nhất vì nó có thể được định nghĩa khá dễ dàng trong thuật ngữ của tích phân đơn giản hay dãy Taylor và điều này lại không đúng đối với logarit khác.
 +</​p><​p>​Những chiều hướng sau của sự tự nhiên không có ứng dụng trong tính toán. Như ví dụ sau, có một số dãy số đơn giản liên quan đến logarit tự nhiên. Pietro Mengoli và Nicholas Mercator gọi nó là <​i>​logarithmus naturalis</​i>​ trong vài thập kỷ trước khi Isaac Newton và Gottfried Leibniz phát triển phép tính.
 +</p>
 +
 +<div class="​thumb tright"><​div class="​thumbinner"​ style="​width:​222px;"><​img alt=""​ src="​http://​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​5/​55/​Log-pole-x.svg/​220px-Log-pole-x.svg.png"​ width="​220"​ height="​110"​ class="​thumbimage"​ srcset="//​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​5/​55/​Log-pole-x.svg/​330px-Log-pole-x.svg.png 1.5x, //​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​5/​55/​Log-pole-x.svg/​440px-Log-pole-x.svg.png 2x" data-file-width="​601"​ data-file-height="​301"/> ​ <div class="​thumbcaption"><​i>​ln (x) được định nghĩa là diện tích dưới đường cong f (x) = 1 / x từ 1 đến x.</​i></​div></​div></​div>​
 +<​p>​ln(<​i>​a</​i>​) được định nghĩa chính thức là diện tích dưới đường cong f (x) = 1 / x từ 1 đến x, gần giống như tích phân. ​
 +</p>
 +<​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle ln(a)=int _{1}^{a}{frac {1}{x}},​dx.}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​a</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mo>​=</​mo><​msubsup><​mo>​∫<​!-- &int; --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mn>​1</​mn></​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​a</​mi></​mrow></​msubsup><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mi>​x</​mi></​mfrac></​mrow><​mspace width="​thinmathspace"/><​mi>​d</​mi><​mi>​x</​mi><​mo>​.</​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle ln(a)=int _{1}^{a}{frac {1}{x}},​dx.}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​8adff47b619ff4663410ba2c44033f4614cf0657"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -2.338ex; width:​17.775ex;​ height:​5.843ex;"​ alt="​{displaystyle ln(a)=int _{1}^{a}{frac {1}{x}},​dx.}"/></​span></​dd></​dl><​p>​Điều này định nghĩa một logarit vì nó đáp ứng các đặc tính cơ bản của một logarit:
 +</p>
 +<​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle ln(ab)=ln(a)+ln(b),​!}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​a</​mi><​mi>​b</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mo>​=</​mo><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​a</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mo>​+</​mo><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​b</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mspace width="​thinmathspace"/><​mspace width="​negativethinmathspace"/></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle ln(ab)=ln(a)+ln(b),​!}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​201d09bd646b4d84d875b2f2d6580ad4ac018036"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; margin-right:​ -0.387ex; width:​22.027ex;​ height:​2.843ex;"​ alt="​{displaystyle ln(ab)=ln(a)+ln(b),​!}"/></​span></​dd></​dl><​p>​Điều này có thể được chứng minh bằng cách cho phép:<​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle t={tfrac {x}{a}}}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​t</​mi><​mo>​=</​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​false"​ scriptlevel="​0"><​mfrac><​mi>​x</​mi><​mi>​a</​mi></​mfrac></​mstyle></​mrow></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle t={tfrac {x}{a}}}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​b254c1ed6444180365e586884158a0ad7f0b1f7e"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -1.005ex; width:​5.714ex;​ height:​3.009ex;"​ alt="​{displaystyle t={tfrac {x}{a}}}"/></​span>​ như sau:
 +</p>
 +<​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle ln(ab)=int _{1}^{ab}{frac {1}{x}};​dx=int _{1}^{a}{frac {1}{x}};​dx;​+int _{a}^{ab}{frac {1}{x}};​dx=int _{1}^{a}{frac {1}{x}};​dx;​+int _{1}^{b}{frac {1}{t}};​dt=ln(a)+ln(b)}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​a</​mi><​mi>​b</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mo>​=</​mo><​msubsup><​mo>​∫<​!-- &int; --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mn>​1</​mn></​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​a</​mi><​mi>​b</​mi></​mrow></​msubsup><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mi>​x</​mi></​mfrac></​mrow><​mspace width="​thickmathspace"/><​mi>​d</​mi><​mi>​x</​mi><​mo>​=</​mo><​msubsup><​mo>​∫<​!-- &int; --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mn>​1</​mn></​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​a</​mi></​mrow></​msubsup><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mi>​x</​mi></​mfrac></​mrow><​mspace width="​thickmathspace"/><​mi>​d</​mi><​mi>​x</​mi><​mspace width="​thickmathspace"/><​mo>​+</​mo><​msubsup><​mo>​∫<​!-- &int; --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​a</​mi></​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​a</​mi><​mi>​b</​mi></​mrow></​msubsup><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mi>​x</​mi></​mfrac></​mrow><​mspace width="​thickmathspace"/><​mi>​d</​mi><​mi>​x</​mi><​mo>​=</​mo><​msubsup><​mo>​∫<​!-- &int; --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mn>​1</​mn></​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​a</​mi></​mrow></​msubsup><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mi>​x</​mi></​mfrac></​mrow><​mspace width="​thickmathspace"/><​mi>​d</​mi><​mi>​x</​mi><​mspace width="​thickmathspace"/><​mo>​+</​mo><​msubsup><​mo>​∫<​!-- &int; --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mn>​1</​mn></​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​b</​mi></​mrow></​msubsup><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mi>​t</​mi></​mfrac></​mrow><​mspace width="​thickmathspace"/><​mi>​d</​mi><​mi>​t</​mi><​mo>​=</​mo><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​a</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mo>​+</​mo><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​b</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo></​mstyle></​mrow>​{displaystyle ln(ab)=int _{1}^{ab}{frac {1}{x}};​dx=int _{1}^{a}{frac {1}{x}};​dx;​+int _{a}^{ab}{frac {1}{x}};​dx=int _{1}^{a}{frac {1}{x}};​dx;​+int _{1}^{b}{frac {1}{t}};​dt=ln(a)+ln(b)}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​cf628ba0e8fca1ad2c8a4269acb1e850ad17eda6"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -2.338ex; width:​85.044ex;​ height:​6.343ex;"​ alt="​{displaystyle ln(ab)=int _{1}^{ab}{frac {1}{x}};​dx=int _{1}^{a}{frac {1}{x}};​dx;​+int _{a}^{ab}{frac {1}{x}};​dx=int _{1}^{a}{frac {1}{x}};​dx;​+int _{1}^{b}{frac {1}{t}};​dt=ln(a)+ln(b)}"/></​span></​dd></​dl><​p><​a href="​http://​vi.wikipedia.org/​wiki/​S%E1%BB%91_e"​ title="​Số e">​Số e sau đó được định nghĩa là số thực duy nhất để ln (a) = 1.
 +</​p><​p>​Ngoài ra, nếu hàm số mũ được định nghĩa bằng cách sử dụng chuỗi vô hạn, thì logarit tự nhiên được nghĩa là hàm ngược của nó, tức là, ln là một hàm số sao cho <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle e^{ln(x)}=x!}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​msup><​mi>​e</​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​x</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo></​mrow></​msup><​mo>​=</​mo><​mi>​x</​mi><​mspace width="​negativethinmathspace"/></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle e^{ln(x)}=x!}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​549982a9a869993068a68d258090598214a90a15"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.338ex; margin-right:​ -0.271ex; width:​9.219ex;​ height:​2.843ex;"​ alt="​{displaystyle e^{ln(x)}=x!}"/></​span>​. ​ Vì phạm vi của hàm mũ trên những đối số thực là tất cả các số thực dương và vì hàm số mũ là hàm luôn tăng, nên hàm log được xác định cho tất cả<​i>​số dương x</​i>​.
 +</p>
 +
 +
 +<​p>​Logarit tự nhiên thừa nhận hàm số của giải tích đơn giản theo dạng: g(x) = f '​(x)/​f(x):​ một nguyên hàm của g(x) được cho bởi ln(|f(x)|). Đó là một trường hợp bởi vì những quy tắc của chuỗi và thực tế sau đây:
 +</p>
 +<​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle ​ {d over dx}left(ln left|xright|right)={1 over x}.}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mtext>​ </​mtext><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mi>​d</​mi><​mrow><​mi>​d</​mi><​mi>​x</​mi></​mrow></​mfrac></​mrow><​mrow><​mo>​(</​mo><​mrow><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mrow><​mo>​|</​mo><​mi>​x</​mi><​mo>​|</​mo></​mrow></​mrow><​mo>​)</​mo></​mrow><​mo>​=</​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mi>​x</​mi></​mfrac></​mrow><​mo>​.</​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle ​ {d over dx}left(ln left|xright|right)={1 over x}.}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​06557c8a51c0b764679f56fa76bf564f20c3e694"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -2.005ex; width:​16.633ex;​ height:​5.509ex;"​ alt="​{displaystyle ​ {d over dx}left(ln left|xright|right)={1 over x}.}"/></​span></​dd></​dl><​p>​cách khác
 +</p>
 +<​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle int {1 over x}dx=ln |x|+C}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mo>​∫<​!-- &int; --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mi>​x</​mi></​mfrac></​mrow><​mi>​d</​mi><​mi>​x</​mi><​mo>​=</​mo><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo stretchy="​false">​|</​mo></​mrow><​mi>​x</​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo stretchy="​false">​|</​mo></​mrow><​mo>​+</​mo><​mi>​C</​mi></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle int {1 over x}dx=ln |x|+C}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​bde26fca8bed415e46c7676a746046f49a977695"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -2.338ex; width:​19.947ex;​ height:​5.676ex;"​ alt="​{displaystyle int {1 over x}dx=ln |x|+C}"/></​span></​dd></​dl><​p>​và
 +</p>
 +<​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle int {{frac {f'​(x)}{f(x)}},​dx}=ln |f(x)|+C.}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mo>​∫<​!-- &int; --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mrow><​msup><​mi>​f</​mi><​mo>​′</​mo></​msup><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​x</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo></​mrow><​mrow><​mi>​f</​mi><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​x</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo></​mrow></​mfrac></​mrow><​mspace width="​thinmathspace"/><​mi>​d</​mi><​mi>​x</​mi></​mrow><​mo>​=</​mo><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo stretchy="​false">​|</​mo></​mrow><​mi>​f</​mi><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​x</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo stretchy="​false">​|</​mo></​mrow><​mo>​+</​mo><​mi>​C</​mi><​mo>​.</​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle int {{frac {f'​(x)}{f(x)}},​dx}=ln |f(x)|+C.}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​0d2683aa09c111fd31ccc4bc0759816701d790f7"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -2.671ex; width:​27.884ex;​ height:​6.509ex;"​ alt="​{displaystyle int {{frac {f'​(x)}{f(x)}},​dx}=ln |f(x)|+C.}"/></​span></​dd></​dl><​p>​Đây là một ví dụ trong trường hợp của <​i>​g</​i>​(<​i>​x</​i>​) = tan(<​i>​x</​i>​):​
 +</p>
 +<​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle int tan(x),​dx=int {sin(x) over cos(x)},​dx}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mo>​∫<​!-- &int; --></​mo><​mi>​tan</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​x</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mspace width="​thinmathspace"/><​mi>​d</​mi><​mi>​x</​mi><​mo>​=</​mo><​mo>​∫<​!-- &int; --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mrow><​mi>​sin</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​x</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo></​mrow><​mrow><​mi>​cos</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​x</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo></​mrow></​mfrac></​mrow><​mspace width="​thinmathspace"/><​mi>​d</​mi><​mi>​x</​mi></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle int tan(x),​dx=int {sin(x) over cos(x)},​dx}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​5db42fd2c72016107b5464efd3ac46606e739015"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -2.671ex; width:​27.71ex;​ height:​6.509ex;"​ alt="​{displaystyle int tan(x),​dx=int {sin(x) over cos(x)},​dx}"/></​span></​dd>​
 +<​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle int tan(x),​dx=int {-{d over dx}cos(x) over {cos(x)}},​dx.}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mo>​∫<​!-- &int; --></​mo><​mi>​tan</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​x</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mspace width="​thinmathspace"/><​mi>​d</​mi><​mi>​x</​mi><​mo>​=</​mo><​mo>​∫<​!-- &int; --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mrow><​mo>​−<​!-- &minus; --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mi>​d</​mi><​mrow><​mi>​d</​mi><​mi>​x</​mi></​mrow></​mfrac></​mrow><​mi>​cos</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​x</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo></​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​cos</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​x</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo></​mrow></​mfrac></​mrow><​mspace width="​thinmathspace"/><​mi>​d</​mi><​mi>​x</​mi><​mo>​.</​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle int tan(x),​dx=int {-{d over dx}cos(x) over {cos(x)}},​dx.}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​bd36e968b094c23723f979d1d73d521296c24028"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -2.671ex; width:​33.188ex;​ height:​7.343ex;"​ alt="​{displaystyle int tan(x),​dx=int {-{d over dx}cos(x) over {cos(x)}},​dx.}"/></​span></​dd></​dl><​p>​Đặt <​i>​f</​i>​(<​i>​x</​i>​) = cos(<​i>​x</​i>​) và <​i>​f'</​i>​(<​i>​x</​i>​)= - sin(<​i>​x</​i>​):​
 +</p>
 +<​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle int tan(x),​dx=-ln {left|cos(x)right|}+C}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mo>​∫<​!-- &int; --></​mo><​mi>​tan</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​x</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mspace width="​thinmathspace"/><​mi>​d</​mi><​mi>​x</​mi><​mo>​=</​mo><​mo>​−<​!-- &minus; --></​mo><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mrow><​mo>​|</​mo><​mrow><​mi>​cos</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​x</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo></​mrow><​mo>​|</​mo></​mrow></​mrow><​mo>​+</​mo><​mi>​C</​mi></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle int tan(x),​dx=-ln {left|cos(x)right|}+C}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​29c47ac8ef72598f827c1ba18464bf822facede3"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -2.338ex; width:​31.783ex;​ height:​5.676ex;"​ alt="​{displaystyle int tan(x),​dx=-ln {left|cos(x)right|}+C}"/></​span></​dd>​
 +<​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle int tan(x),​dx=ln {left|sec(x)right|}+C}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mo>​∫<​!-- &int; --></​mo><​mi>​tan</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​x</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mspace width="​thinmathspace"/><​mi>​d</​mi><​mi>​x</​mi><​mo>​=</​mo><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mrow><​mo>​|</​mo><​mrow><​mi>​sec</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​x</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo></​mrow><​mo>​|</​mo></​mrow></​mrow><​mo>​+</​mo><​mi>​C</​mi></​mstyle></​mrow>​{displaystyle int tan(x),​dx=ln {left|sec(x)right|}+C}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​014c4475e45dade70d0312995e39155a16543e2b"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -2.338ex; width:​29.457ex;​ height:​5.676ex;"​ alt="​{displaystyle int tan(x),​dx=ln {left|sec(x)right|}+C}"/></​span></​dd></​dl><​p>​với <​i>​C</​i>​ là một <a href="​http://​vi.wikipedia.org/​w/​index.php?​title=H%E1%BA%B1ng_s%E1%BB%91_t%C3%B9y_%C3%BD_c%E1%BB%A7a_t%C3%ADch_ph%C3%A2n&​amp;​action=edit&​amp;​redlink=1"​ class="​new"​ title="​Hằng số tùy ý của tích phân (trang chưa được viết)">​hằng số tùy ý của tích phân.
 +</​p><​p>​Logarit tự nhiên có thể được tích hợp bằng cách sử dụng tích phân của các bộ phận:
 +</p>
 +<​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle int ln(x),​dx=xln(x)-x+C.}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mo>​∫<​!-- &int; --></​mo><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​x</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mspace width="​thinmathspace"/><​mi>​d</​mi><​mi>​x</​mi><​mo>​=</​mo><​mi>​x</​mi><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​x</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mo>​−<​!-- &minus; --></​mo><​mi>​x</​mi><​mo>​+</​mo><​mi>​C</​mi><​mo>​.</​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle int ln(x),​dx=xln(x)-x+C.}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​ffcaf5c8b14b232de9ff79e9ae0960ea4966bd10"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -2.338ex; width:​29.909ex;​ height:​5.676ex;"​ alt="​{displaystyle int ln(x),​dx=xln(x)-x+C.}"/></​span></​dd></​dl>​
 +<​p>​Để tính giá trị số logarit tự nhiên của một số, dãy số Taylor mở rộng có thể được viết lại như sau:
 +</p>
 +<​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle ln(1+x)=x,​left({frac {1}{1}}-x,​left({frac {1}{2}}-x,​left({frac {1}{3}}-x,​left({frac {1}{4}}-x,​left({frac {1}{5}}-cdots right)right)right)right)right)quad {rm {for}}quad left|xright|&​lt;​1.,​!}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mn>​1</​mn><​mo>​+</​mo><​mi>​x</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mo>​=</​mo><​mi>​x</​mi><​mspace width="​thinmathspace"/><​mrow><​mo>​(</​mo><​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mn>​1</​mn></​mfrac></​mrow><​mo>​−<​!-- &minus; --></​mo><​mi>​x</​mi><​mspace width="​thinmathspace"/><​mrow><​mo>​(</​mo><​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mn>​2</​mn></​mfrac></​mrow><​mo>​−<​!-- &minus; --></​mo><​mi>​x</​mi><​mspace width="​thinmathspace"/><​mrow><​mo>​(</​mo><​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mn>​3</​mn></​mfrac></​mrow><​mo>​−<​!-- &minus; --></​mo><​mi>​x</​mi><​mspace width="​thinmathspace"/><​mrow><​mo>​(</​mo><​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mn>​4</​mn></​mfrac></​mrow><​mo>​−<​!-- &minus; --></​mo><​mi>​x</​mi><​mspace width="​thinmathspace"/><​mrow><​mo>​(</​mo><​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mn>​5</​mn></​mfrac></​mrow><​mo>​−<​!-- &minus; --></​mo><​mo>​⋯<​!-- &#8943; --></​mo></​mrow><​mo>​)</​mo></​mrow></​mrow><​mo>​)</​mo></​mrow></​mrow><​mo>​)</​mo></​mrow></​mrow><​mo>​)</​mo></​mrow></​mrow><​mo>​)</​mo></​mrow><​mspace width="​1em"/><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​normal">​f</​mi><​mi mathvariant="​normal">​o</​mi><​mi mathvariant="​normal">​r</​mi></​mrow></​mrow><​mspace width="​1em"/><​mrow><​mo>​|</​mo><​mi>​x</​mi><​mo>​|</​mo></​mrow><​mo>&​lt;</​mo><​mn>​1.</​mn><​mspace width="​thinmathspace"/><​mspace width="​negativethinmathspace"/></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle ln(1+x)=x,​left({frac {1}{1}}-x,​left({frac {1}{2}}-x,​left({frac {1}{3}}-x,​left({frac {1}{4}}-x,​left({frac {1}{5}}-cdots right)right)right)right)right)quad {rm {for}}quad left|xright|&​lt;​1.,​!}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​726f7ff2a428795b9d0bf277d319621c4f9a54be"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -2.505ex; margin-right:​ -0.387ex; width:83ex; height:​6.176ex;"​ alt="​{displaystyle ln(1+x)=x,​left({frac {1}{1}}-x,​left({frac {1}{2}}-x,​left({frac {1}{3}}-x,​left({frac {1}{4}}-x,​left({frac {1}{5}}-cdots right)right)right)right)right)quad {rm {for}}quad left|xright|&​lt;​1.,​!}"/></​span></​dd></​dl><​p>​Để đạt được tốc độ tốt hơn của độ hội tụ, tính đồng nhất sau đây có thể được sử dụng:
 +</p>
 +<​dl><​dd><​table><​tbody><​tr><​td><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle ln(x)=ln left({frac {1+y}{1-y}}right)}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​x</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mo>​=</​mo><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mrow><​mo>​(</​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mrow><​mn>​1</​mn><​mo>​+</​mo><​mi>​y</​mi></​mrow><​mrow><​mn>​1</​mn><​mo>​−<​!-- &minus; --></​mo><​mi>​y</​mi></​mrow></​mfrac></​mrow><​mo>​)</​mo></​mrow></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle ln(x)=ln left({frac {1+y}{1-y}}right)}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​45c7c9a2ce3a3650e579c5b1ac43635cd19b75d7"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -2.505ex; width:​19.532ex;​ height:​6.176ex;"​ alt="​{displaystyle ln(x)=ln left({frac {1+y}{1-y}}right)}"/></​span>​
 +</td>
 +<​td><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle =2,​y,​left({frac {1}{1}}+{frac {1}{3}}y^{2}+{frac {1}{5}}y^{4}+{frac {1}{7}}y^{6}+{frac {1}{9}}y^{8}+cdots right)}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mo>​=</​mo><​mn>​2</​mn><​mspace width="​thinmathspace"/><​mi>​y</​mi><​mspace width="​thinmathspace"/><​mrow><​mo>​(</​mo><​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mn>​1</​mn></​mfrac></​mrow><​mo>​+</​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mn>​3</​mn></​mfrac></​mrow><​msup><​mi>​y</​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mn>​2</​mn></​mrow></​msup><​mo>​+</​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mn>​5</​mn></​mfrac></​mrow><​msup><​mi>​y</​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mn>​4</​mn></​mrow></​msup><​mo>​+</​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mn>​7</​mn></​mfrac></​mrow><​msup><​mi>​y</​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mn>​6</​mn></​mrow></​msup><​mo>​+</​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mn>​9</​mn></​mfrac></​mrow><​msup><​mi>​y</​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mn>​8</​mn></​mrow></​msup><​mo>​+</​mo><​mo>​⋯<​!-- &#8943; --></​mo></​mrow><​mo>​)</​mo></​mrow></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle =2,​y,​left({frac {1}{1}}+{frac {1}{3}}y^{2}+{frac {1}{5}}y^{4}+{frac {1}{7}}y^{6}+{frac {1}{9}}y^{8}+cdots right)}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​8c9e6c5f741d7faecf0bd1d4516bb6b98a558646"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -2.505ex; width:​45.131ex;​ height:​6.176ex;"​ alt="​{displaystyle =2,​y,​left({frac {1}{1}}+{frac {1}{3}}y^{2}+{frac {1}{5}}y^{4}+{frac {1}{7}}y^{6}+{frac {1}{9}}y^{8}+cdots right)}"/></​span>​
 +</​td></​tr><​tr><​td>​
 +</td>
 +<​td><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle =2,​y,​left({frac {1}{1}}+y^{2},​left({frac {1}{3}}+y^{2},​left({frac {1}{5}}+y^{2},​left({frac {1}{7}}+y^{2},​left({frac {1}{9}}+cdots right)right)right)right)right)}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mo>​=</​mo><​mn>​2</​mn><​mspace width="​thinmathspace"/><​mi>​y</​mi><​mspace width="​thinmathspace"/><​mrow><​mo>​(</​mo><​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mn>​1</​mn></​mfrac></​mrow><​mo>​+</​mo><​msup><​mi>​y</​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mn>​2</​mn></​mrow></​msup><​mspace width="​thinmathspace"/><​mrow><​mo>​(</​mo><​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mn>​3</​mn></​mfrac></​mrow><​mo>​+</​mo><​msup><​mi>​y</​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mn>​2</​mn></​mrow></​msup><​mspace width="​thinmathspace"/><​mrow><​mo>​(</​mo><​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mn>​5</​mn></​mfrac></​mrow><​mo>​+</​mo><​msup><​mi>​y</​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mn>​2</​mn></​mrow></​msup><​mspace width="​thinmathspace"/><​mrow><​mo>​(</​mo><​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mn>​7</​mn></​mfrac></​mrow><​mo>​+</​mo><​msup><​mi>​y</​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mn>​2</​mn></​mrow></​msup><​mspace width="​thinmathspace"/><​mrow><​mo>​(</​mo><​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mn>​1</​mn><​mn>​9</​mn></​mfrac></​mrow><​mo>​+</​mo><​mo>​⋯<​!-- &#8943; --></​mo></​mrow><​mo>​)</​mo></​mrow></​mrow><​mo>​)</​mo></​mrow></​mrow><​mo>​)</​mo></​mrow></​mrow><​mo>​)</​mo></​mrow></​mrow><​mo>​)</​mo></​mrow></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle =2,​y,​left({frac {1}{1}}+y^{2},​left({frac {1}{3}}+y^{2},​left({frac {1}{5}}+y^{2},​left({frac {1}{7}}+y^{2},​left({frac {1}{9}}+cdots right)right)right)right)right)}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​5b5202fe07be75a059a8e272076eb4afa7c4a6aa"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -2.505ex; width:​61.912ex;​ height:​6.176ex;"​ alt="​{displaystyle =2,​y,​left({frac {1}{1}}+y^{2},​left({frac {1}{3}}+y^{2},​left({frac {1}{5}}+y^{2},​left({frac {1}{7}}+y^{2},​left({frac {1}{9}}+cdots right)right)right)right)right)}"/></​span>​
 +</​td></​tr></​tbody></​table></​dd></​dl><​p>​với y=(x-1)/​(x+1) và x&gt;0
 +</​p><​p>​Cho ln(x) vào x&gt;1, giá trị của x càng gần 1, tốc độ của sự hội tụ càng nhanh. Những sự đồng nhất kết hợp với logarit tự nhiên có thể được đẩy lên để khai thác điều này:
 +</p>
 +<​dl><​dd/></​dl><​p>​Kỹ thuật này đã được sử dụng trước máy tính, bằng cách tham khảo bảng số và thực hiện các thao tác như trên.
 +</p>
 +<​h3><​span id="​.C4.90.E1.BB.99_ch.C3.ADnh_x.C3.A1c_cao"/><​span class="​mw-headline"​ id="​Độ_chính_xác_cao">​Độ chính xác cao</​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​[</​span>​sửa<​span class="​mw-editsection-divider">​ | </​span>​sửa mã nguồn<​span class="​mw-editsection-bracket">​]</​span></​span></​h3>​
 +<​p>​Để tính logarit tự nhiên với nhiều chữ số chính xác, hướng tiếp cận của dãy số Taylor không có hiệu quả vì sự hội tụ rất chậm. Vì vậy, các nhà toán học đã thay thế hướng này và sử dụng phương pháp Newton để đảo ngược hàm mũ để có sự hội tụ của dãy nhanh hơn.
 +</​p><​p>​Cách tính khác cho một kết quả có độ chính xác khá cao là công thức:
 +</p>
 +<​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle ln xapprox {frac {pi }{2M(1,​4/​s)}}-mln 2}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mi>​x</​mi><​mo>​≈<​!-- &asymp; --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mi>​π<​!-- &pi; --></​mi><​mrow><​mn>​2</​mn><​mi>​M</​mi><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mn>​1</​mn><​mo>,</​mo><​mn>​4</​mn><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo>/</​mo></​mrow><​mi>​s</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo></​mrow></​mfrac></​mrow><​mo>​−<​!-- &minus; --></​mo><​mi>​m</​mi><​mi>​ln</​mi><​mo>​⁡<​!-- &#8289; --></​mo><​mn>​2</​mn></​mstyle></​mrow>​{displaystyle ln xapprox {frac {pi }{2M(1,​4/​s)}}-mln 2}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​373361d7fa6ede6589a9c53434fc45418d63f2ed"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -2.671ex; width:​27.373ex;​ height:​5.509ex;"​ alt="​{displaystyle ln xapprox {frac {pi }{2M(1,​4/​s)}}-mln 2}"/></​span></​dd></​dl><​p>​với M là dãy truy hồi giữa <a href="​http://​vi.wikipedia.org/​w/​index.php?​title=Trung_b%C3%ACnh_c%E1%BB%99ng&​amp;​action=edit&​amp;​redlink=1"​ class="​new"​ title="​Trung bình cộng (trang chưa được viết)">​trung bình cộng và trung bình nhân của 1 và 4/s và:
 +</p>
 +<​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle s=x,​2^{m}&​gt;​2^{p/​2},​}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​s</​mi><​mo>​=</​mo><​mi>​x</​mi><​mspace width="​thinmathspace"/><​msup><​mn>​2</​mn><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​m</​mi></​mrow></​msup><​mo>&​gt;</​mo><​msup><​mn>​2</​mn><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​p</​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo>/</​mo></​mrow><​mn>​2</​mn></​mrow></​msup><​mo>,</​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle s=x,​2^{m}&​gt;​2^{p/​2},​}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​d9112c48134109921a878f975814c8ed33bd53fd"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.671ex; width:​16.354ex;​ height:​3.176ex;"​ alt="​{displaystyle s=x,​2^{m}&​gt;​2^{p/​2},​}"/></​span></​dd></​dl><​p>​với m chọn sao cho p đạt đến sự chính xác. (Đối với hầu hết các kết quả, giá trị 8 của m là đúng.) Trong thực tế, nếu phương pháp này được sử dụng, phép nghịch đảo Newton đối với logarit tự nhiên có thể được tính toán hàm mũ có hiệu quả. (Hằng số ln 2 và pi có thể được tính toán trước với độ chính xác mong muốn để sử dụng nhiều dãy số cho trước một cách nhanh chóng.)
 +</p>
 +
 +
 +
 +
 +<​!-- ​
 +NewPP limit report
 +Parsed by mw1269
 +Cached time: 20181016171439
 +Cache expiry: 1900800
 +Dynamic content: false
 +CPU time usage: 0.108 seconds
 +Real time usage: 0.205 seconds
 +Preprocessor visited node count: 376/1000000
 +Preprocessor generated node count: 0/1500000
 +Post&#​8208;​expand include size: 4330/​2097152 bytes
 +Template argument size: 9/2097152 bytes
 +Highest expansion depth: 7/40
 +Expensive parser function count: 0/500
 +Unstrip recursion depth: 0/20
 +Unstrip post&#​8208;​expand size: 1224/​5000000 bytes
 +Number of Wikibase entities loaded: 0/400
 +Lua time usage: 0.016/​10.000 seconds
 +Lua memory usage: 785 KB/50 MB
 +--><​!--
 +Transclusion expansion time report (%,​ms,​calls,​template)
 +100.00% ​  ​51.467 ​     1 -total
 + ​85.82% ​  ​44.170 ​     1 B&#​7843;​n_m&#​7851;​u:​Ch&​uacute;​_th&​iacute;​ch_trong_b&​agrave;​i
 + ​54.44% ​  ​28.019 ​     1 B&#​7843;​n_m&#​7851;​u:​H&#​7897;​p_th&​ocirc;​ng_b&​aacute;​o
 + ​10.44% ​   5.374      1 B&#​7843;​n_m&#​7851;​u:​Tham_kh&#​7843;​o
 +  6.07%    3.122      1 B&#​7843;​n_m&#​7851;​u:​Column-count
 +--><​!-- Saved in parser cache with key viwiki:​pcache:​idhash:​777915-0!canonical!math=5 and timestamp 20181016171439 and revision id 40724235
 + ​--></​div>​
 +
 +</​HTML>​
0442720181029-l-garit-t-nhi-n-la-gi.txt · Last modified: 2018/11/07 17:08 (external edit)